En fait, si L est un module libre sur un anneau R, alors on peut considérer R ⊕ L comme un anneau en définissant le produit de deux éléments de L pour être 0. Chaque polynôme peut être écrit uniquement comme une combinaison linéaire de produits de puissance avec des coefficients constants. Les multiples de certains produits d`alimentation, comme par exemple (x ^ 3Y ^ 2 , ) peuvent ensuite être visualisés par la zone ombrée de la figure figure 1. L`élimination avec les bases de Gröbère permet d`implicer pour n`importe quelle valeur de n, simplement en éliminant t dans l`idéal ⟨ g 1 x 1 − f 1,…, g n x 2 − f n ⟩. Buchberger, B. Dans cet article, nous expliquerons par des exemples la notion générale de la base de Gröbelle, les propriétés mathématiques fondamentales des bases de Gröbta, l`algorithme de construction des bases de Gröbta, et quelques exemple d`applications des bases de Gröbta. Les deux dernières propriétés permettent des calculs dans l`anneau de facteur R/I avec la même installation que l`arithmétique modulaire. Buchberger, B. Ainsi, une base de Gröbte pour cette commande porte beaucoup plus d`informations qu`habituellement nécessaire. Dans l`autre cas, la résultante est une puissance du résultat de l`élimination.
Quelle représentation polynomiale est la meilleure? Lors de la modélisation d`un problème par des équations polynomiales, il est très fréquent que certaines quantités sont censés être non-zéro, parce que, si elles sont nulles, le problème devient très différent. La méthode la plus efficace dépend du problème. Un idéal n`a pas de zéro (le système des équations est incompatible) si et seulement si 1 appartient à l`idéal (c`est le Nullstellensatz de Hilbert), ou, de façon équivalente, si sa base de Gröbels (pour toute commande monomiale) contient 1, ou, aussi, si la réduction correspondante La base de Gröbte est [1]. En 2007, Buchberger a reçu le prix de la théorie et de la pratique de l`Association pour les machines informatiques de Paris Kanellakis pour ce travail. Notez d`abord que f et g, et donc aussi h, k et tous les autres polynômes dans l`idéal, j`ai les trois zéros suivants dans le plan (x, y) en commun, comme indiqué dans la figure: {(1,1), (-1,1), (0,0)}. Il est donc appelé un reste de (3x ^ 3Z + x ^ 2Z ^ 2 ) lors de la division par (B . Malheureusement, ce n`est pas toujours le cas. Dans cet article, une «base» est juste un ensemble (B ) de polynômes multivariés, comme [B = {x z ^ 2-3 y z + 1, x ^ 2-2 y, x y-5 z }. Hilbert`s Nullstellensatz a deux versions.
Choisissons également un ordre monôme d`élimination «éliminant» X, qui est un ordre monôme pour lequel deux monomériaux sont comparés en comparant d`abord les parties X, et, en cas d`égalité seulement, compte tenu des Y-parties. Ceci est facilement testé avec un calcul de base de gröbels, parce que 1 appartient à un idéal si et seulement si 1 appartient à la base gröbtorienne de l`idéal, pour n`importe quel ordre monôme. Sauf mention explicite, tous les résultats qui suivent [4] sont vrais pour toute commande monomiale (voir cet article pour les définitions des différentes commandes qui sont mentionnées ci-dessous). Calcul des bases Gröbelles sur les entiers. Cela peut expliquer pourquoi les bases de Gröbati pour l`ordre lexicographique sont généralement les plus difficiles à calculer. Avec l`ordre ci-dessus, les principaux produits d`alimentation de [x z ^ 2-3 y z + 1, quad x ^ 2-2 y, quad x y-5 z ] sont (x z ^ 2 , ) (x ^ 2 , ) et (XY , ) respectivement. Cela permet de tester l`appartenance d`un élément dans un idéal. Parce que le calcul d`une base Gröbiste peut être si coûteux en calculs, les variables peuvent parfois être éliminées plus facilement à partir d`un système d`équations en calculant manuellement la résultante de paires successives d`équations pour éliminer itérativement une variable à chaque Étape. Cela implique qu`un monôme contenant une variable x est supérieur à chaque monomiale indépendant de x. l`algorithme de Buchberger–gröbels–polynômes multivariés éparses. Si le p i {displaystyle P_ {i}} a un zéro commun (parfois appelé point de base), chaque composant irréductible du jeu algébrique non vide défini par le p i {displaystyle P_ {i}} est un composant irréductible du jeu algébrique défini par i.
Après substitution de cette racine dans la base, les deuxièmes coordonnées de cette solution est une racine du plus grand diviseur commun des polynômes résultants qui dépend seulement de cette deuxième variable, et ainsi de suite.